数学・統計学の基礎

各項目ごとに「公式」→「例題」→「解答の流れ」をセットにしています。実際に数字を追いながら公式の使い方を確認してください。

① 各項をべき乗の公式で微分する：

• 3x³ → 3 × 3x² = 9x²
• 2x² → 2 × 2x¹ = 4x
• −5x → −5 × 1x⁰ = −5
• 1（定数）→ 0

② 答え：f'(x) = 9x² + 4x − 5

① 外側の関数と内側の関数に分ける：

• 外側：u⁴（u = 2x + 3 とおく）
• 内側：u = 2x + 3

② 連鎖律 f'(g(x)) · g'(x) を適用：

• 外側の微分：4u³ = 4(2x + 3)³
• 内側の微分：2

③ 答え：f'(x) = 4(2x + 3)³ × 2 = 8(2x + 3)³

① ∂f/∂x を求める（y は定数扱い）：

• 3x²y → 6xy（y は定数、x² を微分）
• 2xy³ → 2y³（y³ は定数、x を微分）
• −4x → −4
• y → 0（x を含まない定数）

∂f/∂x = 6xy + 2y³ − 4

② ∂f/∂y を求める（x は定数扱い）：

• 3x²y → 3x²（x² は定数、y を微分）
• 2xy³ → 6xy²（x は定数、y³ を微分）
• −4x → 0（y を含まない定数）
• y → 1

∂f/∂y = 3x² + 6xy² + 1

① 各事象を整理する：

• 全体：{1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6通り
• A（3以下）：{1, 2, 3} → P(A) = 3/6 = 1/2
• B（偶数）：{2, 4, 6} → P(B) = 3/6 = 1/2

② A∩B（3以下かつ偶数）を求める：

• A∩B = {2} → P(A∩B) = 1/6

③ 加法定理で P(A∪B) を求める：

• P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 1/2 + 1/2 − 1/6 = 5/6

A = 数学が好き、B = 英語が好き とすると：

• P(B) = 20/40 = 1/2
• P(A∩B) = 12/40 = 3/10

P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = (3/10) / (1/2) = 3/10 × 2/1 = 3/5 = 0.6（60%）

英語好きの20人中、数学も好きなのは12人 → 12/20 = 3/5 と一致！

A = 病気である、B = 陽性 とすると：

• P(A) = 0.01（事前確率：罹患率1%）
• P(A̅) = 0.99（健康である確率）
• P(B|A) = 0.90（病気→陽性：感度90%）
• P(B|A̅) = 0.05（健康→陽性：偽陽性率5%）

① P(B) を全確率の公式で求める：

P(B) = P(B|A)×P(A) + P(B|A̅)×P(A̅) = 0.90×0.01 + 0.05×0.99 = 0.009 + 0.0495 = 0.0585

② ベイズの定理に代入：

P(A|B) = P(B|A)×P(A) / P(B) = 0.90×0.01 / 0.0585 = 0.009 / 0.0585 ≈ 0.154（約15.4%）

③ 解釈：陽性でも実際に病気である確率はわずか約15%！

罹患率が低い（1%）ため、偽陽性の人数が実際の病気の人数を大きく上回る。これがベイズの定理の直感に反するポイント。

a · b = 3×1 + 2×4 + 1×5 = 3 + 8 + 5 = 16

対応する要素同士をかけて、全部足すだけ！

行列の積 = 「左の行」と「右の列」の内積

AB の (1,1) 成分：1×5 + 2×7 = 5 + 14 = 19

AB の (1,2) 成分：1×6 + 2×8 = 6 + 16 = 22

AB の (2,1) 成分：3×5 + 4×7 = 15 + 28 = 43

AB の (2,2) 成分：3×6 + 4×8 = 18 + 32 = 50

答え：AB = [[19, 22], [43, 50]]

各目の確率はすべて 1/6 なので：

E[X] = 1×(1/6) + 2×(1/6) + 3×(1/6) + 4×(1/6) + 5×(1/6) + 6×(1/6)

= (1+2+3+4+5+6) / 6 = 21/6 = 3.5

サイコロを何回も振ると、出目の平均は3.5に近づく。

E[X] = 10000×0.01 + 1000×0.05 + 100×0.20 + 0×0.74

= 100 + 50 + 20 + 0 = 170円

このくじ1回あたりの「平均的なリターン」は170円。くじの値段が170円より高いなら損！

二項分布の公式：P(X=k) = ₙCₖ × p^k × (1−p)^n−k

n=5, k=3, p=0.5 を代入：

• ₅C₃ = 5! / (3! × 2!) = (5×4) / (2×1) = 10
• p³ = 0.5³ = 0.125
• (1−p)² = 0.5² = 0.25

P(X=3) = 10 × 0.125 × 0.25 = 0.3125（31.25%）

① 平均値を求める：

x̄ = (4 + 6 + 8 + 10 + 12) / 5 = 40 / 5 = 8

② 各データと平均の差（偏差）を求める：

③ 分散を求める：

σ² = (16 + 4 + 0 + 4 + 16) / 5 = 40 / 5 = 8

④ 標準偏差を求める：

σ = √8 ≈ 2.83

中央値：データは9個（奇数）→ 真ん中は5番目 → 8

（昇順: 3, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 10, 12）

最頻値：最も多く出現する値 = 8（3回出現）