平均・分散・標準偏差・標準化

統計の基本用語を整理して理解する
🗺️ 全体像：それぞれの関係
用語の関係マップ データ [160, 170, 180] 中心を求める 平均 = 170 散らばりを求める 分散 = 66.67（単位が²） √ルートを取る 標準偏差 = 8.16（元の単位） 平均と標準偏差 を使って変換 標準化 平均0, 分散1に変換 種類 平均 → 値（1つの数値） 分散 → 値（1つの数値） 標準偏差 → 値（1つの数値） 標準化 → 処理（変換） ↑ これだけ違う！
図1: 平均・分散・標準偏差は「値」、標準化は「処理」
📋 一覧表でまとめ
用語 何を表す？ 計算式 一言で
平均 データの中心 全部足して ÷ 個数 真ん中はどこ？
分散 散らばり具合 (各データ−平均)² の平均 どれくらいバラバラ？
標準偏差 散らばり具合 √分散 分散を元の単位に戻す
標準化 データの変換処理 (データ−平均) ÷ 標準偏差 スケールを揃える
📊 平均（Mean）

🎯 平均とは

データの「中心」を表す値。全部足して個数で割る。

具体例
データ: 160, 170, 180
平均 = (160 + 170 + 180) ÷ 3 = 170
平均 = 全データの合計 ÷ データ数
「みんなを足して、人数で割る」
📊 分散（Variance）

🎯 分散とは

データが平均からどれくらい散らばっているかを表す値。

各データと平均の差（偏差）を2乗して、その平均を取る。

具体例
データ: 160, 170, 180　（平均 = 170）

160の偏差: 160 - 170 = -10 → 2乗すると 100
170の偏差: 170 - 170 = 0 → 2乗すると 0
180の偏差: 180 - 170 = +10 → 2乗すると 100

分散 = (100 + 0 + 100) ÷ 3 = 66.67
分散 = (各データ − 平均)² の平均
「平均からのズレを2乗して平均する」
❓ なぜ2乗するの？

プラスとマイナスのズレが打ち消し合わないようにするため。

例：-10 と +10 をそのまま足すと 0 になってしまう。
2乗すれば 100 + 100 = 200 となり、散らばりが消えない。

📊 標準偏差（Standard Deviation）

🎯 標準偏差とは

分散のルート（√）を取った値。

分散だと単位が「cm²」のようになってしまうので、ルートを取って元の単位（cm）に戻す。

具体例
分散 = 66.67
標準偏差 = √66.67 = 8.16

「データは平均から約8cmくらい散らばっている」と解釈できる
標準偏差 = √分散
「分散をルートして、元の単位に戻す」
💡 分散と標準偏差の使い分け

分散：計算で使う（2乗されているので計算しやすい）
標準偏差：解釈で使う（元の単位なのでわかりやすい）

「標準偏差が8cm」と言われれば直感的にわかるが、
「分散が66.67cm²」と言われてもピンとこない。

📊 標準化（Standardization）

🎯 標準化とは

処理であり、値ではない。

データを「平均0、分散1」に変換する処理のこと。

具体例
データ: 160, 170, 180（平均=170, 標準偏差=8.16）

160 → (160 - 170) ÷ 8.16 = -1.22
170 → (170 - 170) ÷ 8.16 = 0
180 → (180 - 170) ÷ 8.16 = +1.22

変換後: [-1.22, 0, +1.22]（平均0、分散1になっている）
標準化後の値 = (元の値 − 平均) ÷ 標準偏差
「平均からのズレを、標準偏差で割る」
❓ なぜ標準化するの？

スケールを揃えるため。

例えば身長（150〜190cm）と年収（300〜1000万円）を一緒に学習させると、
数値が大きい年収の方が影響力を持ってしまう。

標準化すれば両方とも「-2〜+2くらい」になり、公平に扱える。

👁️ 視覚的なイメージ
正規分布で見るイメージ 平均 (中心) -1σ +1σ 標準偏差の範囲 約68%のデータが入る -2σ +2σ 標準偏差(σ) 平均からの 散らばり幅 分散(σ²) 標準偏差の 2乗 ±1σに68%、±2σに95%、±3σに99.7%のデータが含まれる
図2: 正規分布での平均と標準偏差のイメージ（σ = 標準偏差）
🔄 標準化のビフォー・アフター
標準化：スケールを揃える 標準化前（バラバラ） 身長 160 170 180 cm 年収 300 600 1000 万円 標準化 標準化後（揃った！） 身長 -1.22 0 +1.22 年収 -1.07 0 +1.43 両方とも「-2〜+2くらい」の範囲に → 公平に比較・学習できる
図3: 標準化するとスケールが揃い、公平に扱える
🎯 G検定で押さえるべきポイント
用語 覚えること
平均 データの中心。全部足して個数で割る。
分散 散らばり具合。偏差の2乗の平均。単位が²になる。
標準偏差 分散のルート。元の単位に戻る。σで表す。
標準化 平均0、分散1に変換する処理。スケールを揃える。
正規分布 ±1σに68%、±2σに95%、±3σに99.7%のデータ。
✅ 覚え方のコツ

平均：真ん中
分散：バラバラ度（2乗してる）
標準偏差：バラバラ度（元の単位）= √分散
標準化：揃える処理（値じゃない！）

「分散」と「標準偏差」は両方とも散らばりを表すが、標準偏差の方が直感的にわかりやすい。